分数と循環する無限小数
野原：今日のテーマが、「およその数」「概数」。数学、数の話だけではなくて、そこから見えてくる文化、人間の認知、考え方、思考といった部分、そのあたりを数学的だけでなく、アート的と言うんでしょうか、柔軟な視点から「およその数」というものについて考えていきたいと思っています。
村上：およその数、概数っていうのは、小学校の算数で皆さんも習ったと思うんですが、先生の鬼門です。一番難しい所です。「およその数」って答えがないから。小学校の先生って、およその数なのに、なぜか正確なところを知って教えようとするんですね。
　およそなんだけど数学、ちゃんとした数学なんだよって話をしましょう。たとえば、「７分の１」っていうのを計算すると、0.142857142857142857って繰り返す。どんどんどんどん。これは実際、筆算するとわかるんですが、面倒くさいから「３分の１」ぐらいにします。「１÷３」っていうのを計算すると、３が出てきて、９を引いて、また「１÷３」という同じ割り算がでてくるんですね。分数はこうやってどっかで同じパターンが出てきて、以降繰り返しが出てきます。筆算マニアならわかります。小学校のときに本当に割り算が面白いと思った人は、必ずどっかでこういう現象にめぐり会ったはずです。
津田：そうしますと、分割していくと反復するということが言えるということですか？
村上：はい、そのとおりです。だから、何桁になるかわからないけど、百万桁かもしれないけど、必ず繰り返します。
津田：音楽でも、バロックの曲なんかも微妙にずれながら反復していきます。
村上：ただ、反復って、ちょっと今から説明しますが、分数を小数に直すと反復して無限に続くんですけど、分数にすると、「なに分のなに」ってピタッと終わりますよね。反復も何もなく。
　たとえば「３分の１」って言うと、１と３だけでつくられてますよね。でも、小数に直すと0.3333......って３が無限に続きますよね。無限と思うと「あーっ」って気が遠くなるけど、「３分の１」って言うともう我々のものって言うか。（笑）逆にそうやって、無限に続く小数だけれど、よく見ると循環してるっていうのがわかれば、それは必ず、整数分の整数、分数に直せます。なんでかって言うと、たとえばよくわからないそのx=0.142857142857142857......って無限に続くものがあったとします。その無限に続くものっていうのは６桁で循環してますよね。じゃあそれを、10の６乗倍、小数点を６個右にずらした数を書いてやります。そうするとでかくなるから、一、十、百、千、万、十万、142,857。142,857.142857142857......。点を６つずらしてでかくしたものから元のものを引くと、えーと「1,000,000かけるｘ、ひく１かけるｘ」。「1,000,000ひく１かけるｘイコール」右辺の小数点以下は繰り返してるから、引くと消えちゃいますよね。整数だけが残る。そうするとｘがちゃんと999,999分の142,857、整数分の整数という分数になる。これ、一見するとでかい数ですけれど、分母を分子で割ると７になったから、７分の１に戻ってます。というわけで、循環する小数は分数になるという証明が終わりました。（拍手）

数学の無限の美しさ、不思議さ

村上：0.41421356......。これはなんでしょうか。誰かわかる人......はい。
Ｍ：ルート２マイナス１。
村上：あっ、ピンポーン。「ルート２マイナス１」です。日本の人ならわかってほしいんですが、先頭に「ひと」ってのを付けると、「ひとよひとよにひとみごろ」。これをこのように覚えましょうっていうのが、日本のよき伝統ですね。よき伝統なのか知りませんが。
　もちろんいまだと、コンピューターがあればルート２を計算しろといったほうが速いし、ウィキペディアでもなんでも調べればすぐわかりますけど。これは、さっきの分数と違って繰り返しは絶対ありません。これは、高校ぐらいで習うのかな。ルート２は分数ではありません。いわゆる有理数ではない。どっかで習ったと思いますが。多分大学入試で出したら解けない人がわんさか出てくると思いますが、証明知ってますか？背理法でやるんですね。昔やった嫌な思い出がよみがえった人がいるかもしれませんが。とにかく、ルート２、無理数っていうんですけど、無理数っていうのは、小数で表すと全然循環がない。だから、なんて言うのか、汚い数のような、小数で表すと汚くなるように思われてるかもしれませんが、こういう連分数で書くと、むしろきれいです。「１わる、２たす１わる、２たす１わる、......」ってなんか、循環してますよね。（参考 http://ja.wikipedia.org/wiki/2%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9）こういう連分数の極限として見ると、非常にきれいな形をしていますね。このへんの「てんてん」がわかりにくいのですが、これはまず「ルート２ひく１」をおよその数、一番最初はまず0.5で近似をして次0.4、次0.415833......って順番にやっていくと、どんどんどんどん、「ルート２ひく１」という無理数に近づいていくということを表しています。数学ではこうやって、およその数でつかまえていって、それを現実なものにしていくっていうのがよくあります。極限とかって言われてます。あれは平たく言うと、およその数でつかまえてるものを、どんどんどんどん、およその範囲を狭くして最後１個だけにしようというのが考え方の中心です。これを、もし大学１年のときの微分積分の嫌な授業を思い出した人は、あ、反応がない。嫌なことを完全に忘れちゃったな（笑）。やったはずです。やってないかな......まあいいや。